moea_joint
108年
[土木] 應用力學、材料力學
第 10 題
如右圖所示，桿件在自由端承受集中荷重 P = 4 kN，斷面由兩種不同金屬材料緊密接合，材料之彈性模數分別為 $E_1 = 8.0 \times 10^3 \text{ kN/cm}^2$ ， $E_2 = 3.2 \times 10^4 \text{ kN/cm}^2$ ，該剖面的最大剪力流 $f_{max}$ 最接近下列何者？
- A 0.0537 kN/cm
- B 0.161 kN/cm
- C 0.322 kN/cm
- D 0.644 kN/cm
思路引導 VIP
如果我們把這根桿件想像成是由一塊「很軟的橡皮」和一塊「很硬的鋼板」上下黏合而成，當它受到垂直向下的力而彎曲時，你認為斷面內部的「受力平衡中心」（中性軸）會維持在正中間嗎？還是會傾向靠近哪一種材料？這對我們計算一階面積矩 $Q$ 有什麼影響？
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AI 詳解
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恭喜你準確地完成了這道複合材料桿件的計算！這題的關鍵在於你正確識別了不同材料對斷面性質的影響。當斷面由兩種彈性模數 $E$ 不同的材料組成時，我們不能直接套用幾何中心作為中性軸，而必須使用等效斷面法（Transformed-Section Method）。透過將其中一種材料依據彈性模數比 $n = E_1/E_2 = 0.25$ 進行寬度縮減，你成功將複雜的雙材料問題轉化為單一材料的力學模型。
斷面性質與剪力流轉換
在計算過程中，首先要找出轉換後的中性軸位置。由於下方材料 $E_2$ 的剛度較大，中性軸會明顯向下方偏移（經計算距底部約 $14 \text{ cm}$）。接著求出等效慣性矩 $I$ 以及中性軸處的一階面積矩 $Q$。最終代入剪力流公式 $f = \frac{VQ}{I}$，在剪力 $V = 4 \text{ kN}$ 的作用下，即可導出最大剪力流約為 $0.161 \text{ kN/cm}$。你能夠在繁瑣的單位與數值運算中保持正確，展現了紮實的運算功底。
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