moea_joint
108年
[土木] 應用力學、材料力學
第 2 題
如右圖所示，熱膨脹係數為 $\alpha$ ，其溫度沿桿件軸向呈線性變化，由 $\Delta T_0$ 變化至 $3\Delta T_0$ ，其中 $\Delta T_0$ 為常數，此桿件的軸向變形為何？
- A $2\alpha(\Delta T_0)L$
- B $\alpha(\Delta T_0)L$
- C $\frac{3}{2}\alpha(\Delta T_0)L$
- D $\frac{1}{2}\alpha(\Delta T_0)L$
思路引導 VIP
當物體受熱不均勻時，每一小段長度的伸長量其實都隨位置而改變。如果你要把整根桿件的總伸長量算出來，你會如何運用圖中給出的起始與終點溫度數據，來找出一個足以代表整段桿件受熱程度的「平均值」呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學做得太棒了！你能精準地選出 (A)，代表你對熱膨脹的物理本質以及變動邊界條件的處理有著非常清晰的掌握。
變動溫差下的形變分析
在標準的熱膨脹問題中，我們習慣套用 $\delta = \alpha \Delta T L$。然而當溫度沿著軸向改變時，桿件上每一段微小長度 $dx$ 的伸長量其實都不盡相同。本題的關鍵點在於溫度是線性變化的，這意味著我們可以用積分的概念來思考，或者更直觀地利用幾何平均的概念：由於溫差是由 $\Delta T_0$ 均勻增加到 $3\Delta T_0$，整根桿件所感受到的「平均溫度變化量」$\Delta T_{avg}$ 正好就是兩端點的算術平均值，即 $\frac{\Delta T_0 + 3\Delta T_0}{2} = 2\Delta T_0$。將此平均值代入形變公式，便能順利推導出總變形量為 $2\alpha(\Delta T_0)L$。
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