moea_joint
108年
[土木] 應用力學、材料力學
第 23 題
有一空心圓形管，長度 60 cm，斷面外徑 16 cm，管壁厚 1 cm，剪力模數 G 為 80 MPa，於一端施加 20 N-m 之扭矩，另一端固定，此空心圓形管之最大扭轉角最接近下列何者？
- A $5.63 \times 10^{-5} \text{ rad}$
- B $1.02 \times 10^{-4} \text{ rad}$
- C $5.63 \times 10^{-3} \text{ rad}$
- D $1.02 \times 10^{-2} \text{ rad}$
思路引導 VIP
若我們要衡量一根桿件「抵抗扭轉變形」的能力，除了考慮材料本身的剛性（$G$）外，你認為斷面的幾何形狀會如何影響變形量？如果同樣質量的材料，分布在離軸心「較遠」的地方（如空心管）和集中在「軸心附近」（如實心桿），哪一種結構在承受相同扭矩時，旋轉的角度會比較小呢？
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太棒了！你能精確選出正確答案，代表你對材料力學中「扭轉（Torsion）」的核心觀念掌握得非常紮實。在解決這類問題時，最關鍵的挑戰通常在於單位換算的嚴謹性以及對幾何性質的精確計算。
空心斷面的幾何特性與扭轉公式
這題的核心公式是扭轉角 $\phi = \frac{TL}{GJ}$。首先，我們必須計算空心圓管的極慣性矩（Polar Moment of Inertia, $J$），其公式為 $J = \frac{\pi}{2}(R^4 - r^4)$。這裡的外半徑 $R = 8 \text{ cm}$，內半徑 $r = 7 \text{ cm}$，計算時必須將單位統一轉換為公尺（m）。這正是本題最具鑑別度的地方：一旦在單位轉換（如 $\text{cm}^4$ 換算至 $\text{m}^4$）或半徑與直徑的判斷上稍有疏忽，計算出的數值就會產生好幾個數量級的偏差。
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