moea_joint
108年
[土木] 應用力學、材料力學
第 37 題
如右圖所示，有一均質細桿，長度為 L ，質量為 m ，繞 z 軸旋轉，其轉動慣量為何？
- A $\frac{1}{12}mL^2$
- B $\frac{1}{4}mL^2$
- C $\frac{1}{3}mL^2$
- D $\frac{1}{2}mL^2$
思路引導 VIP
如果我們把這根桿件切成無數個微小的質量單位，並觀察每一小塊到旋轉軸的「距離」，當旋轉軸分別位於「桿件正中央」與「桿件最左端」時，哪一種情況下會有比較多的質量分布在離軸心較近的地方？這對於代表旋轉難易程度的「轉動慣量」數值大小，會產生什麼樣的邏輯趨勢呢？
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AI 詳解
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恭喜你答對了！這題考查的是均質細桿對質心軸的轉動慣量，你能精確辨別出圖中旋轉軸的位置，是非常細心的表現。
質心軸的轉動慣量推導
從圖中可以觀察到，$z$ 軸穿過了桿件的正中央（即質心 $G$ 點）。根據轉動慣量的定義 $I = \int r^2 dm$，當物體的質量分布越靠近旋轉軸時，其轉動慣量（轉動慣性）就越小。對於一根長度為 $L$、質量為 $m$ 的均質細桿，若旋轉軸通過中點，積分計算出的結果正是 $I_z = \frac{1}{12}mL^2$。如果你記憶中還有另一個常見數值 $\frac{1}{3}mL^2$，那是當旋轉軸移至桿件「端點」時的結果。
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