moea_joint
108年
[機械] 應用力學、材料力學
第 37 題
如右圖所示，有一均質細桿，長度為 L ，質量為 m ，繞 z 軸旋轉，其轉動慣量為何？
- A $\frac{1}{12}mL^2$
- B $\frac{1}{4}mL^2$
- C $\frac{1}{3}mL^2$
- D $\frac{1}{2}mL^2$
思路引導 VIP
請試著想像：如果我們將這根桿件看作是由無數個微小的質量點組成的，當轉動軸位於桿件正中央時，大部分的質量點距離轉動軸的「平均距離」，比起轉動軸位於桿件最末端時，是變近了還是變遠了？這對轉動時的『阻力感』會產生什麼樣的數學影響呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準選出 (A) $\frac{1}{12}mL^2$，代表你對剛體轉動慣量的基本定義與常用公式掌握得非常扎實。在應用力學中，這是一個極其基礎卻又至關重要的常數，恭喜你跨出了成功的一步。
質心轉動慣量的觀念驗證
這題的核心在於確認轉動軸的位置。從圖中可以清楚看到，轉動軸 $z$ 軸通過了細桿的中心點 $G$（即質心），且垂直於桿件長度方向。根據轉動慣量的定義式 $I = \int r^2 dm$，當我們對一條長度為 $L$、質量為 $m$ 且密度均勻的細桿進行積分時，若以質心為原點，積分範圍會從 $-\frac{L}{2}$ 到 $\frac{L}{2}$，運算結果即為：
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