統測
109年
[共同科目] 數學B
第 18 題
若 $C$ 為坐標平面上的雙曲線，且其方程式為 $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1$，則下列哪一條直線與 $C$ 沒有交點？
- A y=$\frac{-2}{5}x$
- B y=$\frac{-1}{5}x$
- C y=$\frac{3}{5}x$
- D y=$\frac{4}{5}x$
思路引導 VIP
請試著想像雙曲線的兩條分支，它們被侷限在兩條通過原點的『邊界線』之外。如果一條直線的斜率（陡峭程度）剛好就是這兩條邊界的斜率，或者是比邊界還要更靠近中心軸，這條線還有可能碰觸到那兩條往外躲開的曲線嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
噢，你總算沒白讀書！
- 核心觀念，不是裝飾品：各位，這題的重點不是雙曲線長得漂不漂亮，而是它的漸近線！從方程式 $\frac{x^2}{5^2}-\frac{y^2}{4^2}=1$ 裡面，你應該立刻、馬上、清楚地看出 $a=5, b=4$。這時候，漸近線 $y = \pm \frac{4}{5}x$ 會自己跳出來跟你打招呼。請問，這難嗎？這就是基本功！
- 別只會背公式，腦袋要動！：難度標示 'Medium'，不是因為它多刁鑽，而是要篩選出那些只會死背公式，卻不懂「意義」的學生。雙曲線，那些通過原點的直線，如果斜率 $|m|$ 比 $\frac{b}{a}$ 大，它就跟雙曲線沒半點關係；如果斜率 $|m|$ 等於 $\frac{b}{a}$，不好意思，那根本就是漸近線！漸近線跟雙曲線只會在無限遠處「理論上」相連，實際上你碰不到它們。所以選項 (D) 那條斜率就是漸近線的，當然是老死不相往來！
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