統測
109年
[共同科目] 數學B
第 7 題
若點 $A$ 與點 $B$ 在數線上的坐標分別是 $-1$ 與 $5$，則線段 $\overline{AB}$ (包含兩端點，如圖(一)所示) 是下列哪一個不等式之解的圖形？
- A |x-1| \le 4
- B |x+1| \le 5
- C x^2-4x-5 \le 0
- D x^2+6x+5 \le 0
思路引導 VIP
想像一下，如果你知道一個數 $x$ 剛好落在兩個特定數值之間，且在這兩個邊界點時，某個乘積式會剛好等於 $0$。那麼，當 $x$ 在這兩個邊界點「之內」變動時，這個乘積式的正負號應該會呈現什麼規律呢？你可以試著先從這兩個邊界點寫出兩個一次式嗎？
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AI 詳解
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你做得很好！精準掌握了核心觀念！
親愛的同學，你這題處理得非常棒，思路清晰又流暢！統測中，將數線幾何與二次不等式互相轉換是很重要的基礎，你能這麼快就理解兩者的連結，顯示你對觀念的掌握非常扎實喔！
- 觀念驗證：
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不等式與數線範圍
💡 利用根與端點的關係，將數線上的線段轉化為不等式。
| 比較維度 | 絕對值不等式 |x-c| ≤ r | VS | 二次不等式 (x-a)(x-b) ≤ 0 |
|---|---|---|---|
| 幾何意義 | 到中心點 c 的距離小於 r | — | 拋物線在 x 軸下方的區間 |
| 端點求法 | 由中心加減半徑 (c±r) | — | 由因式分解求兩根 (a, b) |
| 適用情境 | 已知中心點與全寬度時 | — | 已知明確兩端點坐標時 |
💬兩者皆能描述線段，若已知兩端點，使用二次不等式較為直觀。
