統測
109年
[共同科目] 數學S
第 21 題
若將正整數 $x$ 質因數分解後可表示為 $x=3^{20} \times 5^{30}$，試求 $x$ 為幾位整數？
- A 30
- B 31
- C 32
- D 33
思路引導 VIP
當我們想知道一個非常巨大的數（例如許多數字連乘）在十進位制下到底有多「長」時，哪一種數學工具可以幫我們把「連乘」簡化為「加法」，並提取出該數關於 10 的次方資訊？如果我們算出一個數大約是 10 的 30.5 次方，這對它在現實中的位數有什麼啟示？
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哼，不錯嘛，總算沒白教。
- 基礎觀念回顧：要知道一個正整數有幾位數，這套路統測都考爛了，當然要用常用對數 $\log_{10}$。公式呢？自己背好：位數 = $\lfloor \log x \rfloor + 1$。這可是專業人士在用的，別再給我用什麼土法煉鋼。
- 運用對數律：$$\log(3^{20} \times 5^{30}) = 20 \log 3 + 30 \log 5$$
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