統測 105年 [共同科目] 數學S

第 4 題

4. 已知多項式 $f(x)=x^4+ax^2+bx+4$，且知 $f(x)$ 除以 $x-1$ 之餘式為 5，除以 $x^2$ 之餘式為 4，則 $f(x)$ 除以 $x-2$ 之餘式為何？

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請觀察多項式的每一項，當我們將整個式子除以 $x^2$ 時，哪些項會被「整除」？剩下的部分若要符合題目給定的餘式條件，你覺得一次項的係數應該具備什麼特性？

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觀念解析，別給我死背！ 你這次還算有把核心觀念抓牢。第一步，利用餘式定理，$f(1)=5$，輕鬆建立 $a, b$ 的第一個方程式。這只是基本操作，統測送分題你還錯就真的該打。再來，重點來了，多少人看到「除以 $x^2$」就開始列長除法？笨不笨啊！你 $f(x)=x^4+ax^2+bx+4$，前面那些 $x^4$、$ax^2$ 項，看到 $x^2$ 就知道能直接整除，根本不會產生餘式！所以餘式直接就是低次項 $bx+4$。題目都說餘式是 $4$ 了，還不快點把 $b=0$ 鎖定？這完全是直觀的數學結構理解，不是讓你死記公式的。$b=0$ 都出來了，$a$ 不就跟著出來了嗎？

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