第 一 題

1 一、求 $y'' - \frac{4}{x}y' + \frac{4}{x^2}y = x^2 + 1$ for $x>0$… 96% 2 一、求 $y''+8y'+16y=1+e^{-4x}$ 的通解（general solution）。（15 分） 95% 3 求 $yy'' = (y')^2$ 的通解（general solution）。（15分） 93% 4 求通解（general solution）為 $c_1e^x + c_2xe^x + x^2e^x$ 的二次微分方程式，… 93% 5 一、求解下列尤拉-柯西（Euler-Cauchy）微分方程式：（20 分） x² y'' + xy' - 4y = 4x… 91% 6 試求微分方程式 $y'' - 4y' + 4y = \frac{e^{2x}}{x}$ 之通解，其中… 91% 7 請求出本初始值問題的精確解（exact solution）。 91% 8 解微分方程 $ty'' + (t-1)y' + y = 0$，其中 $y' = \frac{dy}{dt}$ 及… 90% 9 利用積分因子，解微分方程式 $2\sin(y^2)dx + xy\cos(y^2)dy = 0$ , $y(2) = \sqrt{\pi/2}$… 90% 10 請求出本題目中之微分方程式的齊次解（homogeneous solution），該齊次解應為一般形式（general f… 90%