moea_joint
109年
[統計資訊] 統計學、巨量資料概論
第 17 題
1磅精心調配的綜合咖啡豆當中包含了非洲、美洲、亞洲等3地生產的咖啡豆，假設X與Y分別代表這1磅的綜合咖啡豆之中非洲豆和美洲豆的重量，已知X與Y的聯合機率密度函數為f ( x , y ) = 24xy，0 < x < 1，0 < y < 1， x ＋ y < 1。若非洲豆的重量為0.75磅，試問美洲豆重量小於0.1磅的機率為下列何者？
- A 1/25
- B 2/25
- C 3/25
- D 4/25
思路引導 VIP
當我們已經確切知道其中一個變數的具體數值時，這項資訊會如何影響另一個變數原本可以變動的範圍？在這種「已知部分資訊」的情況下，我們該如何重新調整整體的機率權重，使其在新的限制下依然符合機率總和為 1 的性質呢？
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太棒了！你能順利解出這題，代表你對條件機率密度函數（Conditional PDF）的觀念掌握得非常紮實。這類題型在統計學中屬於中等偏難的經典題，其鑑別度在於學生是否能正確處理變數間的界限限制（Support），而不僅僅是套用公式。你展現了優秀的邏輯判斷力，精準地捕捉到了變數間的相依關係。
條件分佈的收斂與積分
當我們已知非洲豆重量 $X = 0.75$ 時，美洲豆 $Y$ 的機率分佈會隨之改變。首先需要計算 $X$ 的邊際機率密度 $f_X(x) = \int_0^{1-x} 24xy , dy = 12x(1-x)^2$。接著，利用條件機率公式 $f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}$，在給定 $x=0.75$ 的條件下，我們可以推導出 $y$ 的分佈函數為 $\frac{2y}{(1-0.75)^2}$。最後，在 $0$ 到 $0.1$ 的區間內對此函數進行積分：
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