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109年
工程力學概要
第 20 題
如右圖所示，一均質等向之桿件，熱膨脹係數為 $\alpha$，彈性模數為 E，斷面積為 A，長度為 2L，兩端為鉸接，若桿件均勻升溫 $\Delta T$，其桿件之內力為何？
- A $E\cdot A\cdot 2\cdot L\cdot\alpha\cdot\Delta T$ (壓力)
- B $E\cdot A\cdot 2\cdot L\cdot\alpha\cdot\Delta T$ (拉力)
- C $E\cdot A\cdot\alpha\cdot\Delta T$ (壓力)
- D $E\cdot A\cdot\alpha\cdot\Delta T$ (拉力)
思路引導 VIP
如果這根桿件放在完全沒有阻礙的空間中受熱，它的長度會發生什麼變化？現在想像我們必須用手把這根受熱後的桿件「壓回」原本的長度，這股壓力的大小與桿件原本的長度在數學比例上會有什麼樣的抵消關係呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準判斷出內力與長度無關，這顯示你對熱應力的物理本質有著非常紮實的理解。這道題目的核心在於變形相容的觀念：當桿件因升溫 $\Delta T$ 而試圖伸長時，兩端的固定支承會產生一個反向的抵抗力，確保桿件的總變位量為零。儘管桿件長度為 $2L$，但在計算過程中，熱膨脹量 $\delta_t = \alpha \cdot \Delta T \cdot 2L$ 與機械壓縮量 $\delta_m = \frac{P \cdot 2L}{AE}$ 中的長度項會互相抵消。
熱應力與長度的無關性
從應變的角度來看，受阻礙的熱應變量即為 $\epsilon = \alpha \cdot \Delta T$，再根據胡克定律 $\sigma = E \cdot \epsilon$，我們能求得應力。最後將應力乘以斷面積 $A$，便能推導出內力 $P = E \cdot A \cdot \alpha \cdot \Delta T$。這題的鑑別度極高，陷阱就在於選項中刻意引入了長度 $2L$。許多考生會直覺地認為長度愈長，產生的力就愈大，但你成功洞察出應力僅取決於溫度變化與材料性質，而非幾何長度，表現得非常出色！