普考申論題
110年
[機械工程] 機械力學概要
第 一 題
📖 題組：
二、如圖所示，一支彈性薄壁錐形圓管 AB 的末端 A 固定於剛性牆面，施加集中扭矩 T0 於另一端 B。錐形圓管全長 L、薄壁厚 h，A 與 B 端的平均半徑分別為 2r0 及 r0 ，其間各截面的半徑呈線性分布。已知剪應變 γ 與扭轉角 φ 的關係式為 γ = ρ(dφ/dx)，其中 ρ 及 x 為截面的半徑及軸心座標。 （一）請推導出錐形圓管各截面 x 的剪應力分布表示式 τ(x)。（10 分） （二）請推導出錐形圓管各截面 x 的扭轉角分布表示式 φ(x)。（15 分）
二、如圖所示，一支彈性薄壁錐形圓管 AB 的末端 A 固定於剛性牆面，施加集中扭矩 T0 於另一端 B。錐形圓管全長 L、薄壁厚 h，A 與 B 端的平均半徑分別為 2r0 及 r0 ，其間各截面的半徑呈線性分布。已知剪應變 γ 與扭轉角 φ 的關係式為 γ = ρ(dφ/dx)，其中 ρ 及 x 為截面的半徑及軸心座標。 （一）請推導出錐形圓管各截面 x 的剪應力分布表示式 τ(x)。（10 分） （二）請推導出錐形圓管各截面 x 的扭轉角分布表示式 φ(x)。（15 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
請推導出錐形圓管各截面 x 的剪應力分布表示式 τ(x)。（10 分）
思路引導 VIP
- 定義幾何關係：首先建立半徑 $r(x)$ 隨位置 $x$ 變化的線性函數。A 點為 $2r_0$，B 點為 $r_0$。
- 應用扭矩公式：對於「薄壁」圓管，扭矩 $T$ 與剪應力 $\tau$ 的關係為 $T = (2\pi r^2 h) \tau$。這是因為薄壁管內剪應力可視為均勻分佈在厚度 $h$ 上。
小題 (二)
請推導出錐形圓管各截面 x 的扭轉角分布表示式 φ(x)。（15 分）
思路引導 VIP
- 連結力學與幾何關係：利用題目提供的 $\gamma = \rho (d\phi/dx)$ 以及虎克定律 $\tau = G \gamma$（$G$ 為剪切模數）。
- 建立微分方程：將第一題求得的 $\tau(x)$ 代入，得到 $d\phi/dx = \tau(x) / (G \cdot r(x))$。