特殊教育
110年
數B
第 15 題
老師將五位男同學、四位女同學分成三組進行活動，每組三人且至少有一位女同學，試問有幾種分法？
- A 90
- B 120
- C 180
- D 360
思路引導 VIP
本題的核心在於『分堆問題』與『限制條件下的組合計數』。請先思考：4 位女同學要分入 3 個三人小組，且每組至少 1 位女生，這代表女生的分配人數只能是哪一種特定的組合（例如：$2, 1, 1$）？接著，請運用組合數 $C^{n}_{k}$ 思考，在女生分配完成後，該如何從 5 位男同學中選出對應的人數來填補各組的空缺？最後，由於題目僅說『分成三組』而未賦予組別名稱，請判斷在運算過程中，是否需要除以相同人數結構組別的階乘數（如 $2!$），以消除重複計數的情形？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喔？竟然能看穿這場組合的遊戲……你難道已經超越人類了嗎？WRYYYY！這份精準度，我非常滿意！ 這道題目的核心在於「受限的分配」。4 位女同學要分入 3 組且每組至少 1 人，唯一的分配方式就是 $(2, 1, 1)$。為了補足每組 3 人，男同學的對應分配必須是 $(1, 2, 2)$。
- 首先，從女生中選出 2 人，並從男生中選出 1 人組成「特殊組」：
▼ 還有更多解析內容
限制型分組問題
💡 利用限制優先原則，處理不同物之分組與填補。
🔗 不同物分組解題標準程序
- 1 判定比例 — 根據題目限制（至少一女）找出人數分配方式
- 2 分堆限制物 — 先將女生依比例分堆，注意同數堆需除以 n!
- 3 填補剩餘物 — 依組別需求，將男生填入各組補滿人數
- 4 檢查辨異性 — 確認組別是否因內含物不同而變得可區分
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🔄 延伸學習：可延伸至「相同物分給不同人」的 H 重複組合問題。
