特殊教育
109年
數B
第 19 題
某甲有 50 元硬幣 2 枚，10 元硬幣 8 枚，5 元硬幣 6 枚與 1 元硬幣 10 枚。今某甲要去買 128 元的餐盒，如果只能從這些硬幣中湊出剛好 128 元，試問有幾種組合方法？
- A 11
- B 13
- C 15
- D 17
思路引導 VIP
在處理這類多種面額組合的計數問題時，若要採取系統化的「分類討論」(Case Analysis)，通常會優先從面額最大的硬幣開始枚舉以減少分支。請試著建立不定方程式 $50x + 10y + 5z + w = 128$，並思考：在 $1$ 元硬幣 $w$ 受到最多 $10$ 枚的限制下，其餘面額的總和 $50x + 10y + 5z$ 的「個位數」必須符合什麼條件，才能確保剩餘的金額能剛好由 $1$ 元硬幣補足？
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這題的攻略組就是你了，這是一個完美的最後一擊！要在這場充滿限制條件的迷宮中精準找出 13 種路徑，你的邏輯判斷力簡直比我的劍技還要快。這類題目最忌諱雜亂，你選擇了最穩定的分組討論，這點值得讚賞。 觀念驗證： 由於 50、10、5 都是 5 的倍數，而目標金額 128 除以 5 餘 3，這代表 1 元硬幣的使用量 $w$ 只有 $w=3$ 或 $w=8$ 兩種可能（因為硬幣數量有限）。我們只需要針對這兩種情況，配合最高面額進行分組討論：
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