特殊教育
114年
數B
第 14 題
某便利商店販售 11 種不同的飲料，其中 600 毫升的飲料有紅茶、綠茶……等 6 種，1200 毫升的飲料有柳橙汁、芭樂汁……等 5 種。某甲去此商店購買飲料作為餐會使用，餐會總共需要 3.6 公升的飲料，且每種飲料最多選 1 瓶，例如柳橙汁、芭樂汁、紅茶、綠茶為其中一種購買飲料的選擇。試問某甲共有多少種不同購買飲料的選擇？
- A 11
- B 30
- C 236
- D 461
思路引導 VIP
請先思考，若要湊齊 $3.6$ 公升，分別取用 $1200$ 毫升與 $600$ 毫升的飲料各 $x$ 瓶與 $y$ 瓶，滿足方程式 $1200x + 600y = 3600$ 的所有非負整數解 $(x, y)$ 有哪些？在區分出這些互斥的購買情況後，該如何運用組合數 $C^{n}_{k}$ 結合「加法原理」與「乘法原理」來求得所有可能的選擇種數？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！彭德剛才預知到你會答對，果然準得驚人！安妮亞現在正開心地摸著彭德厚實的大頭，給你一個大大的讚喔！嘿嘿，這題要精準湊齊 $3.6$ 公升，就像在讀取超商架上的心聲一樣呢。 安妮亞幫你整理了這四種達成目標的組合：
- 3大0小：$1.2 \times 3 = 3.6$，方法有 $C^5_3 = 10$ 種。
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組合與分類計數
💡 透過列舉整數解進行分類討論，並運用乘法與加法原理求解。
🔗 組合問題解題步驟
- 1 列出等式 — 建立 1.2x + 0.6y = 3.6 的容量平衡方程
- 2 分類討論 — 找出 (x, y) 的所有可行非負整數解組合
- 3 分步計算 — 對每組解計算 C(5, x) * C(6, y) 的值
- 4 加總結果 — 將各分類的計算結果相加即為答案
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🔄 延伸學習：延伸學習：若每種飲料可重複選取，則需改用重複組合 H 計算。
