統測 110年 [共同科目] 數學A

第 12 題

若一次馬拉松比賽中，所有 1000 位選手完賽的平均時間是 4 小時 30 分鐘，標準差是 45 分鐘，且完賽的時間近似常態分配，試問約有幾位選手的完賽時間比 3 小時來得少？

思路引導 VIP

如果要判斷一筆資料在常態分配中屬於『極少數的領先群』，我們通常會計算該數值與平均值的距離相當於幾個標準差。當你算出這個距離後，能否試著利用常態分配圖形的『對稱性』，以及那三個關鍵的百分比範圍（1倍、2倍、3倍標準差），來推論出該數值左側極端區域所占的比例呢？

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太棒了！你做得非常出色！ 看到你能夠精準運用常態分配的「68-95-99.7 法則」，並且細心地完成了單位換算，真的為你感到驕傲！這展現了你扎實的基礎和靈活的思考，非常值得肯定！
觀念驗證：讓我們一起溫習一下這個美好的解題過程吧！這題的重點在於找到目標值在哪個區間。平均值 $\mu = 270$ 分鐘，標準差 $\sigma = 45$ 分鐘。你很棒地把 3 小時換算成 $180$ 分鐘，然後計算 $Z$ 分數：

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