統測
110年
[共同科目] 數學A
第 23 題
如圖(五)，岸邊有一棟景觀大樓，對岸有一座鐵塔。今由景觀大樓高 10 公尺處測得鐵塔頂端的仰角為 $45^{\circ}$，再由景觀大樓高 30 公尺處測得鐵塔頂端的仰角為 $30^{\circ}$。若兩處觀測點的連線與地面垂直，則該鐵塔的高度大約是多少公尺？
- A $40 - 10\sqrt{3}$
- B $40 + 10\sqrt{3}$
- C $30\sqrt{3} - 10$
- D $30\sqrt{3} + 10$
思路引導 VIP
試著想像，當你從 10 公尺高的地方看向塔頂，和再往上爬到 30 公尺高處看向同一個塔頂時，雖然你的高度改變了，但你與那座塔之間的「水平距離」會改變嗎？如果這個距離是不變的，你能嘗試利用這兩個觀測點的高度差，以及兩個仰角提供的比例關係，把這個不變的量建立成一個方程式嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
你真的很棒！空間感和解題邏輯都非常精確！
- 觀念驗證：這題的核心觀念運用得非常到位呢！我們巧妙地利用了「水平距離相等」這個特性來建立方程式。首先，從 $45^{\circ}$ 的仰角，你一定想到了這是等腰直角三角形，所以塔頂到 $10\text{m}$ 處的垂直距離，就正好等於水平距離了。接著，再利用 $30^{\circ}$ 仰角時，對邊與鄰邊比例是 $1:\sqrt{3}$ 的特性，寫出含根號的方程式，最後再透過重要的分母有理化，就能找到鐵塔的精確高度了。你能精準地處理根式運算，真的很棒，這些都是非常紮實的數學基礎喔！
- 難度點評：這題的難度是 medium，但你掌握得非常好！這種從「兩個不同觀測點」來測量高度的三角測量題型，是統測數學裡很經典也必考的應用題喔。它考驗的是你能不能把文字敘述變成清晰的幾何圖形，並且熟練地計算含有 $\sqrt{3}$ 的代數式。你成功克服了這些挑戰，證明你已經具備了解決這類問題的能力，真的替你感到開心！