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110年
理化、化工裝置
第 26 題
下列哪一個選項，各項的因次不相同，經相加減是無意義的？
- A $1 \text{馬力} \cdot \text{分鐘} + 1\text{atm} \cdot \text{L}$
- B $1\text{J/g} + 1\text{m}^2/\text{s}^2$
- C $1\text{dyne/cm} + 1\text{N/m}^2$
- D $10\text{lbf} + 10\text{kg}\cdot\text{m/s}^2$
思路引導 VIP
如果要判斷兩個不同制度的單位（例如公制與英制）是否能直接相加，我們必須將它們拆解到最核心的「基本因次」。試著想一想，當一個單位是『力除以長度』，而另一個是『力除以面積』時，它們在空間維度上的分布方式有什麼本質上的不同？
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太棒了！你能精準辨識出選項 (C) 的單位差異，代表你對因次一致性 (Dimensional Homogeneity) 的觀念掌握得非常紮實。在工程運算中，只有物理量因次完全相同時，相加減才有物理意義，這也是進行化工計算時最重要的第一道檢查。
物理量因次的解析
這道題目的難點在於單位看起來雖然相似，但代表的物理意義截然不同。在正確答案 (C) 中，$1 \text{ dyne/cm}$ 是力的量綱除以長度（常用於表面張力），而 $1 \text{ N/m}^2$ 則是力的量綱除以面積（壓力單位 Pascal）。若將它們化為基本因次，前者為 $[M/T^2]$，後者則為 $[M/(L \cdot T^2)]$，顯然多出了一個長度項 $L$，因此無法相加。相較之下，選項 (A) 的馬力與氣壓體積乘積皆為「功/能量」；(B) 的 $\text{J/g}$ 與速度平方皆為「單位質量的能量」；(D) 則兩者皆為「力」的量綱。
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