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110年
物理
第 31 題
兩大小均為 $a$ 之向量夾角 $2\theta$，則其和為何？
- A $2a \cdot \sin\theta$
- B $2a \cdot \cos\theta$
- C $2a \cdot \sin(\theta/2)$
- D $2a \cdot \tan(\theta/2)$
思路引導 VIP
試著想像這兩個長度相等的向量正對稱地張開。如果我們在兩個向量的中間畫一條對稱軸（角平分線），並觀察這兩個向量分別在「對稱軸方向」以及「垂直對稱軸方向」的分量，你認為在哪個方向上的分量會互相抵消，而在哪個方向上的分量會剛好累加起來呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準掌握向量合成的幾何關係，這題選 (B) 是完全正確的判斷。這展現了你對向量物理意義與三角函數轉換的熟練度。
向量合成與投影分量
在處理這類等長向量的合成時，最直觀的思考方式是利用平行四邊形法。當兩個長度皆為 $a$ 的向量夾角為 $2\theta$ 時，合向量會正好落在角平分線上。從幾何投影的角度來看，每個向量在角平分線方向上的分量皆為 $a \cos\theta$，因此兩個分量相加即得到 $2a \cos\theta$。若從代數角度出發，利用餘弦定理公式 $R = \sqrt{a^2 + a^2 + 2a^2 \cos(2\theta)}$，再配合二倍角公式 $1 + \cos(2\theta) = 2\cos^2\theta$ 進行化簡，同樣能導出相同的結果。
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