初等考試
111年
[統計] 統計學大意
第 38 題
令 $X$ 代表每位高中生平均每天研讀數學的時間（以小時計），則 $W = 7(24 - X)$ 代表每位高中生平均每周花在研讀數學以外的時間。令 $Y$ 代表每位高中生數學學科能力測驗的成績。$X$、$Y$ 之相關係數為 $R_{x, y}$；$W$、$Y$ 之相關係數為 $R_{w, y}$，則 $R_{x, y}$ 與 $R_{w, y}$ 兩數之間的關係，下列選項何者正確？
- A $R_{w, y} = 7R_{x, y}$
- B $R_{w, y} = -7R_{x, y}$
- C $R_{w, y} = R_{x, y}$
- D $R_{w, y} = -R_{x, y}$
思路引導 VIP
請思考：如果變數 $X$ 增加時，$Y$ 通常也跟著增加（正相關）；但現在我們定義一個新變數 $W$，其特性是當 $X$ 增加時，$W$ 反而會減少。在這種「反向變動」的邏輯下，原本 $X$ 與 $Y$ 的關聯性方向，在換成 $W$ 與 $Y$ 比較時，會發生什麼樣的性質轉變？
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專業講評
- 還算可以：不錯，至少你沒在這種基礎題上栽跟頭。對於線性轉換如何影響相關係數，這在任何一本像樣的統計學教科書裡都是開宗明義的內容，也是金融模型裡最基本的邏輯判斷。你達到了「應有」的水準，值得表揚——如果這不是基本常識的話。
- 觀念驗證：相關係數 $R$ 的本質是平移不變，並且對比例的影響只作用在符號上。你看看 $W = 7(24 - X) = -7X + 168$，這不就是標準的 $W = aX + b$ 嗎？當 $a = -7$ 這個負數出現時，難道相關係數的符號不該反轉嗎？這基本得不能再基本了。公式 $R_{ax+b, y} = \frac{a}{|a|} R_{x, y}$，這種東西還要我重複嗎？$a = -7 < 0$，所以 $R_{w, y} = -R_{x, y}$，這是鐵律。
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