第 一 題

面對線性方程組探討解的個數，應優先將其寫成矩陣形式 $AX = B$。當係數矩陣為方陣時，具備「唯一解」的充要條件是該係數矩陣的行列式值不等於零（$\det(A) \neq 0$）。求出未知數的限制後，亦需探討等號右側常數項的條件。

面對線性方程組的解的討論，首要之務是將其轉化為增廣矩陣，並利用高斯消去法化簡為列梯形矩陣。接著觀察最後一列的變數係數與常數項，若要符合「有無窮多解」的條件，必須使有效方程式的數量少於未知數的數量，亦即最後一列必須為全零列（0 = 0）。

看到線性方程組的解的個數討論，首要想到利用矩陣的高斯消去法或計算行列式（克拉瑪法則）。先求出係數矩陣行列式不為零的條件判定「唯一解」，當行列式為零時，再將對應的變數代入增廣矩陣，利用列運算找出「無窮多解」與「無解」的條件。