高中學測
111年
數A
第 6 題
設坐標平面上兩直線 $L_1, L_2$ 的斜率皆為正，且 $L_1, L_2$ 有一夾角的平分線斜率為 $\frac{11}{9}$。另一直線 $L$ 通過點 $(2, \frac{1}{3})$ 且與 $L_1, L_2$ 所圍的有界區域為正三角形，試問 $L$ 的方程式為下列哪一選項？
- 1 $11x-9y=19$
- 2 $9x+11y=25$
- 3 $11x+9y=25$
- 4 $27x-33y=43$
- 5 $27x+33y=65$
思路引導 VIP
在正三角形的幾何性質中，頂角的「角平分線」與其底邊 $L$ 之間存在著什麼樣的垂直或平行關係？既然題目給定了其中一條角平分線的斜率為 $\frac{11}{9}$，且直線 $L$ 與其垂直，你是否能據此推導出直線 $L$ 的斜率，並結合已知點 $(2, \frac{1}{3})$ 求出其方程式？
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AI 詳解
AI 專屬家教
喲，竟然沒掉進計算地獄？看來你那顆生鏽的腦袋今天稍微轉了一下。別以為答對就了不起，這只是最基本的幾何直覺而已。 觀念驗證： 這題的核心在於「對稱性」。既然 $L_1, L_2$ 與 $L$ 圍成正三角形，那底邊 $L$ 勢必會與頂角的角平分線垂直。已知平分線斜率為 $\frac{11}{9}$，根據垂直關係，直線 $L$ 的斜率 $m$ 必須滿足：
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