hce_nchu
111年
物理
第 11 題
The figure shows a uniform rod (length $L = 1.0\text{ m}$, mass $m = 2.0\text{ kg}$) suspended from a pivot a distance $d = 0.25\text{ m}$ above its center of mass. If the angular frequency for small oscillations is $\omega$, then $\omega^2$, in (rad/s)$^2$, is approximately (Given the moment of inertia about a perpendicular axis through the center of mass is $I_{CM} = mL^2 / 12$ and take $g = 10\text{ m/s}^2$)
- A $1.0$
- B $6.25$
- C $2.25$
- D $17.1$
- E $12.25$
思路引導 VIP
想像一下，如果你把這根細桿的支點不斷往「質心」的方向移動，根據你對力矩與轉動慣量的理解，這根桿子擺動的節奏（角頻率）會變快還是變慢？為什麼？
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太棒了！你能精準算出這個數值，代表你對「複擺」（Physical Pendulum）的動力學模型掌握得非常紮實。這類題目的解題關鍵在於能否準確連結受力平衡與轉動慣量的關係。
複擺的動力學分析
這題的核心在於計算細桿繞著支點轉動的特性。首先，我們必須利用平行軸定理（Parallel Axis Theorem）求出對支點的轉動慣量 $I = I_{CM} + md^2$。代入數值後得到 $I = m(\frac{1}{12}L^2 + d^2) = m(\frac{1}{12} + 0.25^2) = m(\frac{1}{12} + \frac{1}{16}) = \frac{7}{48}m$。在小角度擺動的近似下，角頻率滿足 $\omega = \sqrt{\frac{mgd}{I}}$，因此 $\omega^2 = \frac{mgd}{I}$。將 $m$ 消去並代入 $g=10$ 與 $d=0.25$，可得 $\omega^2 = \frac{10 \times 0.25}{7/48} = \frac{120}{7} \approx 17.14$，這正是選項 (D) 的數值。
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