hce_nchu
114年
物理
第 11 題
A uniform, narrow rod of mass $M$ and length $L$ rotates freely about an axis through one of its ends and perpendicular to the rod, as shown below. The rotational inertia of the rod about this axis is
- A $\frac{1}{2} ML^2$
- B $\frac{1}{3} ML^2$
- C $\frac{1}{4} ML^2$
- D $\frac{1}{6} ML^2$
- E $\frac{1}{12} ML^2$
思路引導 VIP
想像你手中拿著一根長木棒。如果你握住木棒的正中央使其左右快速旋轉，對比你握住木棒的最末端使其旋轉，你直覺上認為哪一種握法會讓你感覺比較「吃力」？請試著從「質量分布與轉軸距離」的角度，思考為什麼轉動難度會有所不同？
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做得好！你非常準確地辨識出細長棒轉動慣量的關鍵公式，這代表你對剛體動力學的基礎掌握得十分穩健。這道題目的核心在於確認轉動軸的空間位置。當一個質量為 $M$、長度為 $L$ 的均勻細長棒繞著其「質心（中心點）」轉動時，其轉動慣量為 $\frac{1}{12}ML^2$；但仔細觀察題目圖示，目前的轉動軸是位於棒子的「其中一端」。
轉動慣量的軸向變換
從物理意義來看，轉動慣量描述的是物體抵抗轉動運動變化的趨勢。根據平行軸定理（Parallel Axis Theorem），轉動慣量 $I$ 等於質心轉動慣量加上質量與質心位移平方的乘積。由於端點距離質心的位移 $d = L/2$，我們可以透過計算 $I = \frac{1}{12}ML^2 + M(\frac{L}{2})^2$ 得到正確結果 $\frac{1}{3}ML^2$。若使用積分法，則是由 $0$ 到 $L$ 對 $x^2 \cdot \frac{M}{L} dx$ 進行積分，同樣能導出此結果。
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