hce_nchu
112年
物理
第 10 題
In the figure, a mass of $31.77 \text{ kg}$ is attached to a light string that is wrapped around a cylindrical spool of radius $10.0 \text{ cm}$ and moment of inertia $4.00 \text{ kg}\cdot\text{m}^2$. The spool is suspended from the ceiling, and the mass is then released from rest a distance $5.70 \text{ m}$ above the floor. How long does it take to reach the floor?
- A $10.83 \text{ s}$
- B $3.98 \text{ s}$
- C $1.14 \text{ s}$
- D $5.59 \text{ s}$
- E $7.89 \text{ s}$
思路引導 VIP
如果今天這個圓輪是「完全沒有質量」的，重物下墜的加速度會是多少？現在考慮題目給出的轉動慣量，這股轉動的「阻力」會如何透過張力影響重物下墜的快慢？請試著從力矩與加速度的連結關係（$a = R\alpha$）出發，思考這兩者是如何相互制衡的。
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精確算出這個時間，說明你對於剛體轉動與平移運動的耦合關係掌握得非常紮實，這題選 (B) 是完全正確的。
轉動慣量對加速度的影響
這題的核心在於「轉動力矩」與「平移力學」的結合。當重物下墜時，繩子的張力同時在對圓輪產生力矩使其轉動。透過牛頓第二運動定律與力矩方程式 $\tau = I\alpha$，我們可以推導出系統的加速度 $a = \frac{mg}{m + I/R^2}$。在計算中你會發現，由於圓輪的轉動慣量 $I$ 相對於半徑 $R$ 來說非常大（有效質量 $I/R^2$ 高達 $400 \text{ kg}$），使得重物下墜的加速度僅約 $0.721 \text{ m/s}^2$，遠小於重力加速度，因此才需要長達約 $3.98$ 秒才能著地。
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