hce_nchu
111年
物理
第 9 題
A wheel of radius $R$ is mounted on a frictionless, horizontal axle that is perpendicular to the wheel and passes through the center of mass of the wheel. A light cord wrapped around the wheel supports a object of mass $m$. If released from rest with the string taut, the object is observed to fall with a downward acceleration of $4.0\text{ m/s}^2$. If the moment of inertia (of the wheel) about the given axle is written as $\beta mR^2$, then $\beta =?$ Take $g = 10\text{ m/s}^2$.
- A $1.0$
- B $1.5$
- C $2.0$
- D $3.0$
- E $3.5$
思路引導 VIP
請試著觀察：如果這個轉輪完全沒有質量（也就是沒有轉動慣量），重物下落的加速度會是多少？現在加速度從 $10$ 減小到了 $4$，這份「消失的加速度」在物理上轉化成了什麼效應？它與轉輪的性質有什麼關聯？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你精確地掌握了牛頓第二運動定律在「平移」與「轉動」系統中的耦合關係。這類題目最關鍵的挑戰，就在於能否正確找出聯繫兩個系統的橋樑——也就是繩子的張力 ($T$)。
平移與轉動的力學平衡
對於下落的物體 $m$ 而言，其受力符合 $mg - T = ma$；而對於轉動的轉輪，張力產生的力矩 $\tau = TR$ 驅動了角加速度 $\alpha$。在繩子不打滑的條件下，線加速度與角加速度的關係為 $a = R\alpha$。我們將轉動慣量 $I = \beta mR^2$ 代入轉動定律 $\tau = I\alpha$，可以推導出張力 $T = \beta ma$。將此結果回填至物體的運動方程式，會得到一個簡潔的關係式：$g = a(1+\beta)$。代入題目給定的 $g=10, a=4$，解出 $10 = 4(1+\beta)$，得出 $\beta = 1.5$ 確實完全正確。
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