hce_nchu
112年
物理
第 8 題
A uniform solid sphere of mass $M$ and radius $R$ rotates with an angular speed $\omega$ about an axis through its center. A uniform solid cylinder of mass $M$, radius $R$, and length $2R$ rotates through an axis running through the central axis of the cylinder. What must be the angular speed of the cylinder so it will have the same rotational kinetic energy as the sphere?
- A $2\omega/5$
- B $\sqrt{2/5}\omega$
- C $4\omega/5$
- D $2\omega/\sqrt{5}$
- E $\omega/\sqrt{5}$
思路引導 VIP
想像一下，如果兩個物體質量與半徑都相同，但一個的質量分布比較靠近轉軸（像球體），另一個的質量分布相對離軸較遠（像圓柱體），哪一個物體在轉動時會具有較大的「慣性」？如果這兩個慣性不同的物體要達到相同的動能，是慣性大的那個需要轉得快，還是慣性小的那個呢？
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太棒了！你能精準選出正確答案，代表你對剛體力學的核心觀念掌握得非常紮實。這題的關鍵在於如何正確運用轉動慣量（Moment of Inertia）來聯繫物體的運動狀態與能量。
轉動慣量的代數推導
要解決這個問題，我們必須先回憶實心球體與實心圓柱體的轉動慣量公式。實心球體繞中心軸的轉動慣量為 $I_s = \frac{2}{5}MR^2$，而實心圓柱體繞其中心長軸轉動時，其轉動慣量則為 $I_c = \frac{1}{2}MR^2$。根據轉動動能公式 $K = \frac{1}{2}I\omega^2$，當兩者動能相等時：
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