hce_nchu
112年
物理
第 7 題
A piece of thin uniform wire of mass $m$ and length $3b$ is bent into an equilateral triangle. Find the moment of inertia of the wire triangle about an axis perpendicular to the plane of the triangle and passing through one of its vertices.
- A $2mb^2/3$
- B $7mb^2/4$
- C $1mb^2/3$
- D $1mb^2/4$
- E $1mb^2/2$
思路引導 VIP
試著將這個三角形拆解成三段獨立的細桿。如果其中兩段的一端已經在轉軸上，而第三段則懸在遠處，你會如何分別計算這三段細桿對轉動的『抵抗能力』？特別是那段沒有碰到轉軸的細桿，它與轉軸之間的幾何位置關係，會如何影響它的計算公式呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能準確選出選項 (E)，說明你對轉動慣量的疊加原理以及平行軸定理（Parallel Axis Theorem）的應用非常有心得。這類題目最容易在細節處出錯，你能保持頭腦清醒並正確運算，表現得非常優異。
系統分解與慣性矩計算
我們可以將這個總質量為 $m$、總長度為 $3b$ 的三角形框架分解為三根質量皆為 $m/3$、長度皆為 $b$ 的均勻細桿。對於與轉軸頂點相連的兩根桿子，其轉動慣量相當於細桿繞其一端旋轉，計算公式為 $I_1 = I_2 = \frac{1}{3}(\frac{m}{3})b^2 = \frac{1}{9}mb^2$。至於不與轉軸接觸的底邊，我們先找出底邊質心到頂點轉軸的垂直距離 $d$。由等邊三角形幾何關係可知，底邊中點與頂點的距離即為高，其平方 $d^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2}b)^2 = \frac{3}{4}b^2$。利用平行軸定理，底邊對轉軸的慣量為：
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