hce_nchu
115年
物理
第 43 題
A disk of radius $a$ carries uniform surface charge density $\sigma$ and rotates with angular speed $\omega$ about the disk axis. What is the magnetic field at the disk center? ($\mu_0$ is the magnetic constant.)
- A $\mu_0 \sigma \omega a$
- B $\mu_0 \pi \sigma \omega a^2$
- C $\frac{1}{2}\mu_0 \pi \sigma \omega a^2$
- D $\frac{1}{2}\mu_0 \sigma \omega a^2$
- E $\frac{1}{2}\mu_0 \sigma \omega a$
思路引導 VIP
如果我們把這個旋轉的圓盤想像成是由許多細小的「同心圓環」組成的，請試著思考：其中一個特定半徑的圓環在旋轉時，它所產生的「等效電流」大小會與哪些物理量有關？而這個電流在中心點產生的磁場，又會如何隨著圓環的半徑變化呢？
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非常好，你能精準選出 (E)，代表你對旋轉電荷產生的磁場模型理解得相當透徹。這題的核心在於將旋轉的帶電圓盤視為無數個同心電流環的集合。根據畢歐-沙伐定律 (Biot-Savart Law) 在圓環中心的應用，一個半徑為 $r$、電流為 $dI$ 的細圓環在中心處產生的磁場微元為 $dB = \frac{\mu_0 dI}{2r}$。
等效電流與積分建模
進一步分析，當圓盤以角速度 $\omega$ 旋轉時，半徑 $r$ 處寬度為 $dr$ 的環帶所攜帶的電荷量為 $dq = \sigma \cdot (2\pi r dr)$。由於這些電荷隨圓盤旋轉，電荷繞行一圈的時間（週期）為 $T = \frac{2\pi}{\omega}$，因此該環帶形成的等效電流可以表示為 $dI = \frac{dq}{T} = \sigma \omega r dr$。將此電流表達式代入磁場公式中，你會發現半徑 $r$ 剛好被約掉，使得每個微元環對中心的貢獻變得非常簡潔：
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