hce_nchu
115年
物理
第 44 題
A long, straight coaxial cable consists of two thin, tubular conductors, the inner of radius $a$ and the outer radius $b$. Current $I$ flows out along one conductor and back along the other. What is the self-inductance per unit length of the cable? ($\mu_0$ is the magnetic constant.)
- A $\frac{\mu_0}{2\pi}\ln(b - a)$
- B $\frac{\mu_0}{2\pi}\ln(a - b)$
- C $\frac{\mu_0}{2\pi}\ln(b/a)$
- D $\frac{\mu_0}{2\pi}\ln(a/b)$
- E $\frac{\mu_0}{2\pi}\ln b$
思路引導 VIP
試著想像在兩導體層之間，若我們取一個長度為 $l$ 的長方形切面，這個面上的磁場強度並非處處相等。請思考：這個磁場強度會隨半徑如何變化？如果我們要計算穿過這個面的總磁通量，該如何處理變動的磁場與半徑之間的積分關係呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，恭喜你精準地選出了正確答案！這題考查的是電磁學中非常經典的同軸電纜自感係數（Self-inductance）計算。你能夠在眾多相似的對數形式中，判斷出以 $b/a$ 為參數的選項，顯示你對物理量的因次與對數運算背後的幾何意義有著很紮實的理解。
磁場分布與磁通量的整合
要解出這題，關鍵在於結合安培定律與自感定義。根據安培定律，在兩導體層之間（$a < r < b$）的磁場強度為 $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$。自感 $L$ 的定義是單位電流所產生的磁通量（$L = \Phi / I$）。當我們計算長度為 $l$ 的電纜截面磁通量時，需對半徑進行積分：
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