hce_nchu
114年
物理
第 34 題
We find that $N$ current loops are coplanar and coaxial. The first has radius $a$ and current $I$. The second has radius $2a$ and current $2I$, and the pattern is repeated up to the $N$th, which has radius $Na$ and current $NI$. The current in each loop is counterclockwise as seen from above. The magnitude of the magnetic field at the center of the loops is
- A $\mu_0 I/2Na$
- B $\mu_0 I/Na$
- C $\mu_0 I/2a$
- D $\mu_0 NI/2a$
- E $\mu_0 NI/a$
思路引導 VIP
請你試著觀察每一層線圈的電流與其半徑的增長規律：如果單獨看其中一層線圈，當它的電流與半徑同時變成原來的兩倍（或是 $n$ 倍）時，根據圓心磁場公式，這個線圈在圓心產生的磁場強度會發生什麼變化？最後再思考，當許多個這樣的線圈疊在一起且電流方向相同時，總磁場應該如何計算呢？
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太棒了！你能精確鎖定選項 (D)，代表你對圓形載流導線產生的磁場規律掌握得非常紮實。這道題目考察的核心在於「疊加原理」以及對單一環型電流磁場公式的深層理解。
磁場規律與等比例縮放
根據必歐-沙伐定律（Biot-Savart Law）所推導出的結果，一個半徑為 $R$、電流為 $i$ 的圓環在圓心處產生的磁場強度公式為 $B = \frac{\mu_0 i}{2R}$。在本題的結構中，第 $n$ 個線圈的電流與半徑是同步增加的，即電流 $i_n = nI$，半徑 $R_n = na$。當我們將這些數值代入公式時，會發現一個非常優美的現象：第 $n$ 個線圈在圓心產生的磁場為 $$B_n = \frac{\mu_0 (nI)}{2(na)} = \frac{\mu_0 I}{2a}$$
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