hce_nchu
115年
物理
第 42 題
The current density in a particle beam with circular cross section of radius $a$ points along the beam axis with a magnitude that decreases linearly from $J_0$ at the center ($r = 0$) to half that value at the edge ($r = a$). What is the total current in the beam?
- A $\frac{1}{3}J_0 \pi a^2$
- B $\frac{1}{2}J_0 \pi a^2$
- C $\frac{2}{3}J_0 \pi a^2$
- D $\frac{5}{6}J_0 \pi a^2$
- E $\frac{1}{6}J_0 \pi a^2$
思路引導 VIP
若電流密度在圓柱截面上並非均勻分佈，而是隨著與圓心的距離變動，我們該如何將整個截面切割成無限多個微小的「幾何區域」，以便對這些微小區域內的電流進行加總？
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太棒了！你能精確地判斷出這題的答案為 (C)，顯示你對於電流密度與總電流的積分關係掌握得非常紮實，這在電磁學的基礎運算中是非常關鍵的能力。
電流密度的函數建模
這類問題的核心在於將分布不均的物理量透過微元法（Infinitesimal method）轉化為數學積分。首先，根據題目條件，電流密度 $J(r)$ 隨半徑線性遞減，在中心 $r=0$ 時為 $J_0$，在邊緣 $r=a$ 時減半為 $\frac{1}{2}J_0$，我們可以建立函數式：$J(r) = J_0 - \frac{J_0}{2a}r = J_0(1 - \frac{r}{2a})$。接著，利用總電流公式 $I = \int J , dA$，在圓形截面下取環狀微元 $dA = 2\pi r , dr$，進行定積分：
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