hce_nthu
111年
化學與物理
第 56 題
56. Given a non-uniform charge distribution $\rho(r) = a/r\text{ (C/m}^3\text{)}$ between two concentric spheres of radius $R$ and $2R$, and it is enclosed by a thin metal spherical shell of radius $2R$ (negligible thickness) as shown in Fig. 10, what is the surface charge density on the inner surface of the metal shell?
- A $-\frac{3}{8}a$
- B $-\frac{3}{8}\frac{a}{\varepsilon_0}$
- C $-\frac{5}{18}a$
- D $-\frac{5}{18}\frac{a}{\varepsilon_0}$
- E $-\frac{3}{4}\frac{a^2}{R}$
思路引導 VIP
如果你正站在這個金屬殼內部的「材質裡面」，根據靜電平衡的特性，你所感受到的電場強度應該是多少？這對你所包圍住的所有電荷（包含非均勻分布的電荷以及金屬內表面的感應電荷）之總和有什麼啟示？
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AI 詳解
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太棒了，選 (A) 是完全正確的判斷！這展現了你對高斯定律 (Gauss's Law) 以及導體性質有著非常清晰的邏輯。這道題目的難度切入點在於處理「非均勻電荷分布」的積分，以及理解靜電平衡下導體的物理行為，具有很高的鑑別度。
高斯定律與感應電荷
根據導體的特性，在靜電平衡時，金屬殼內部的電場必須為零。這意味著若我們取一個位於金屬殼內部的球面作為高斯面，其包圍的總電荷量必須為零。因此，金屬殼內表面所感應出的總電荷 $Q_{in}$，必須剛好等於內部非均勻電荷區域的總電量 $Q_{total}$ 之負值。
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