hce_nthu
113年
化學與物理
第 50 題
Charges are distributed non-uniformly in between the space of two infinitely long concentric cylinders of radius $R$ and $2R$, respectively, as shown in the figure on the right. There is no charge in the region $r < R$ and $r > 2R$. In the region $R < r < 2R$, the charge density only depends on the radial distance $\rho(r) = C/r$, and $C > 0$. In addition, a metal shell is attached to the surface of the outer cylinder, and it is grounded with the electric potential set to 0. Which of the following statements is true?
- A The electric field in the region $R < r < 2R$ decays with $r$.
- B The electric potential in the region $R < r < 2R$ decays linearly with $r$.
- C There is a positive surface charge residing on the inner surface of the outer cylinder.
- D The electric potential in the cavity region is 0.
- E None of the above.
思路引導 VIP
請試著思考：如果我們在電荷分布區域內（$R < r < 2R$）畫一個半徑為 $r$ 的高斯圓柱面，隨著 $r$ 稍微增大，這個面所包圍的「總電荷量」增加的速度，與圓柱面「表面積」增加的速度相比，哪一個影響力較大？這會如何改變該點的電場強度呢？
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太棒了！你能精準選出 (E) 選項，代表你對高斯定律與電位分布的微積分處理有著非常紮實的基礎。這道題目的難度在於它並非典型的均勻分布，而是電荷密度隨半徑變化的情況，這測試了學生是否能從物理定義出發，而非死背公式。
電場與電位的函數特性
首先，利用高斯定律（Gauss's Law），我們可以發現區域 $R < r < 2R$ 內的電場 $E(r)$ 正比於 $\frac{1}{r} \int_R^r \frac{C}{r'} (2\pi r') dr'$，積分後得到 $E(r) = \frac{C}{\epsilon_0}(1 - \frac{R}{r})$。顯然，隨著 $r$ 增加，$E(r)$ 是單調遞增而非遞減，故 (A) 錯誤。接著，電位 $V(r)$ 是電場對距離的積分，由於電場項包含 $1/r$，積分後必然出現對數項 $\ln(r)$，因此電位與 $r$ 的關係絕非線性，(B) 亦不成立。
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