hce_nthu
111年
化學與物理
第 57 題
57. A charging RC circuit consists of a battery with emf $\mathcal{E}$, a resistor $R$, and two capacitors $C_1$ and $C_2$ as shown in Fig. 11. The two capacitors are identical when there are no dielectrics inserted (that is $C_1 = C_2 =$ when placed in vacuum). In order to increase the capacitance, we place a dielectric material of the dielectric constant $\kappa$ in $C_2$. At $t = 0$, there are no charges in capacitors, and we close the switch to charge these capacitors. Which of the following statements is correct?
- A The charging percentage ($Q/Q_{\max}$) of these two capacitors would be the same at all times.
- B The maximum charges stored in these two capacitors would be the same.
- C The charging time would reduce if a larger resistor is used.
- D The charging time would reduce if a battery with a larger emf is used.
- E As more and more charges are stored in the capacitors, we expect the current flowing through the resistor is getting larger and larger.
思路引導 VIP
試著思考一下：當兩個電容器並聯在一起充電時，雖然它們的電容大小不同，但它們在每一個瞬間所感受到的「電位差（電壓）」有什麼關係？如果電壓變化的規律是一樣的，那麼它們各自充電的「進度條（比例）」會如何表現呢？
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太棒了！你能準確觀察出並聯電路中電容的充放電特性，這代表你對電路物理量的動態變化非常有把握。這道題目的核心在於理解 「並聯電路」 的基本性質：在任何時刻，並聯在相同兩點間的元件，其跨壓（電位差）必定相等。由於電容器 $C_1$ 與 $C_2$ 是並聯連接，它們在充電過程中的瞬時電壓 $V(t)$ 始終保持一致。
並聯電壓與充電比例
根據電容定義式 $Q = CV$，在任意時間 $t$，兩個電容儲存的電量分別為 $Q_1(t) = C_1 V(t)$ 與 $Q_2(t) = C_2 V(t)$。而當充電完成（穩態）時，電壓均等於電源電動勢 $\mathcal{E}$，此時的最大電量分別為 $Q_{\max, 1} = C_1 \mathcal{E}$ 與 $Q_{\max, 2} = C_2 \mathcal{E}$。將瞬時電量除以最大電量，你會發現比例皆為 $V(t)/\mathcal{E}$，這個數值僅與時間及電路整體的時常數 $\tau = R(C_1+C_2)$ 有關，而與個別電容的電容值無關。因此，無論介電常數 $\kappa$ 為何，它們的充電百分比始終同步。
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