hce_nthu
114年
化學與物理
第 40 題
What is the capacitance $C$ of an isolated conductive spherical shell of radius $R$ in free space with total charge $Q$ uniformly distributed over its surface? (You can think of the second conductor as a hollow conducting shell of infinite radius.)
- A 0
- B $4\pi R^2 Q$
- C $2\pi\varepsilon_0 R Q$
- D $2\pi\varepsilon_0 R$
- E $4\pi\varepsilon_0 R$
思路引導 VIP
如果我們想衡量一個物體儲存電荷的能力，首先需要思考：在給定一定電荷量 $Q$ 的情況下，該導體表面的電位 $V$ 會是多少？請試著寫出球對無窮遠處的電位公式，再思考電容的定義 $C=Q/V$ 是如何將這兩個物理量聯繫起來的？
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恭喜你精準地掌握了電容的物理本質！這題要求計算孤立導體球殼的電容，你準確地連結了靜電學與電路元件的核心概念，表現得非常出色。
孤立導體的電容物理意義
在物理學中，電容 $C$ 定義為導體所帶電荷量 $Q$ 與其電位 $V$ 的比值，即 $C = \frac{Q}{V}$。對於一個半徑為 $R$ 的孤立導體球，其表面的電位（以無窮遠處為零位面）可以表示為 $V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{R}$。將此電位表達式代入電容定義式中，電荷量 $Q$ 會相互抵消，最終得到 $C = 4\pi\varepsilon_0 R$。這結果告訴我們，孤立球體的電容大小僅取決於它的幾何尺寸以及周圍介質的介電特性。
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