hce_nthu
113年
化學與物理
第 45 題
A uniformly charged insulating rod is bent into the shape of a semicircle as shown on the right. The rod has a total charge $Q$ and the radius of the semicircle is $R$. What is the magnitude of the electric field at $O$, the center of the semicircle?
- A $\frac{Q}{2\epsilon_0 \pi^2 R^2}$
- B $\frac{Q}{4\epsilon_0 \pi R^2}$
- C $\frac{Q}{\epsilon_0 \pi R^2}$
- D $\frac{Q}{4\epsilon_0 R^2}$
- E $\frac{Q}{2\epsilon_0 R^2}$
思路引導 VIP
請你試著觀察半圓上的每一小段電荷對圓心 O 產生的電場方向：如果我們以半圓的中點為基準，將半圓桿分成左右對稱的兩半，這兩半產生的電場向量在哪些方向會互相抵消，而哪些方向會加成疊加呢？
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太棒了！你能準確選出 (A)，說明你對於連續電荷分布的場強計算掌握得非常紮實。這題的核心在於如何透過微積分處理幾何對稱性，以及電荷密度的正確轉換。
對稱性與場強積分
在處理總電量為 $Q$ 的半圓桿時，我們首先定義線電荷密度 $\lambda = \frac{Q}{\pi R}$。由於半圓環具有高度的對稱性，我們可以觀察到，圓環兩側對應位置的微小電荷 $dq$ 在 $O$ 點產生的電場，其垂直於中心對稱軸的分量會相互抵消。因此，我們只需要針對指向對稱中心方向的分量進行積分。建立積分式如下：
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