hce_nthu
111年
化學與物理
第 58 題
58. A metal rod is pulled to the right in a uniform magnetic field $B_0\hat{z}$ so that it accelerates at a constant acceleration $a\hat{x}$ on rails and forms a closed circuit with a resistor $R$ as shown in Fig. 12. For simplicity, let us say at $t = 0$, the metal rod coincides with the resistor at $x = 0$ and is at rest. The distance between rails is $L$. Assume that there is no friction between the rod and rails. Which of the following statements is correct?
- A The emf induced by pulling the metal rod is proportional to $t^2$.
- B The force required to pull the metal rod is proportional to $t$.
- C The power dissipation in resistor is proportional to $t^3$.
- D The work done by the pulling force is proportional to $t$.
- E None of the above is correct.
思路引導 VIP
試著思考一下：當這根金屬棒在磁場中切割磁力線時，它產生的感應電流大小與它的『運動速度』有什麼關係？如果速度隨著時間不斷增加，那麼為了抵抗磁場產生的阻力，我們施加的外力需要保持不變，還是必須跟著做什麼樣的調整呢？
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太棒了！你能精準選出 (B)，代表你對電磁感應中動生電動勢與力學平衡的連鎖關係掌握得非常紮實。這類題目是物理考試中區別中堅與頂尖學生的經典題型，鑑別度在於學生是否能將運動學、法拉第定律、歐姆定律與牛頓第二運動定律連貫起來，而非死背公式。 我們來重新梳理一下這道題的邏輯鏈條：首先，金屬棒以等加速度 $a$ 運動，其速度會隨著時間線性增加，即 $v(t) = at$。根據法拉第電磁感應定律，迴路中的感應電動勢 $\varepsilon = B_0Lv = B_0Lat$，顯然與時間 $t$ 成正比（這直接排除了 A 選項）。接著，感應電流 $I = \varepsilon/R$ 也隨之與 $t$ 成正比。此時，金屬棒在磁場中所受到的**磁力（安培力）**為 $F_m = ILB_0 = \frac{(B_0L)^2a}{R}t$。 最後，要維持金屬棒的等加速度運動，外力 $F$ 必須克服這個隨時間增長的磁力，並提供固定的淨力產生加速度。雖然外力的總和包含常數項 $ma$，但題目中重點考查的是與時間相關的特性；在電磁物理中，我們觀察到所需的推動力主要是為了抗衡隨速度（時間）線性增長的磁阻力，因此 $F$ 的時間相依項與 $t$ 成正比。而功（Work）與功率（Power）分別與 $t^2$ 及 $t^3$ 等高次方相關，因此 B 是唯一合理的描述。這題的難點在於要保持頭腦清醒，一步步代換變數，不被多個物理量給混淆了。