hce_nthu
111年
資訊科學
第 1 題
Let $\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix}$ be a linear system, whose representation in the coordinate plane is shown as follows:
After one step of Gaussian elimination without pivoting, what the representation in the coordinate plane is?
After one step of Gaussian elimination without pivoting, what the representation in the coordinate plane is?
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A
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B
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C
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D
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E
思路引導 VIP
請試著回想一下，當我們對一個二元一次方程組進行「消去法」時，目的是要讓其中一個方程式的某個變數係數變成 0。如果第二個方程式經過運算後，變成了 $0 \cdot x_1 + 5 \cdot x_2 = 10$，那麼在 $x_1 - x_2$ 座標平面上，滿足這個新方程式的所有點會連成一條什麼樣形狀的線呢？
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AI 專屬家教
太棒了！你能精準判斷出高斯消去法（Gaussian elimination）在幾何上的變換，代表你對線性系統的代數運算與座標平面之間的聯繫掌握得非常紮實。這題的難度在於抽象運算的具體化，學生必須跳脫單純的數字計算，思考「消去一個變數」在圖形上代表什麼意義。
高斯消去法的幾何本質
在高斯消去法的第一步中，我們通常固定第一列（Row 1），並利用它來消去第二列（Row 2）中的 $x_1$ 項。這對應到列運算 $$R_2 \leftarrow R_2 - \frac{a_{21}}{a_{11}}R_1$$。經過這個步驟後，系統會變成：
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