特殊教育
111年
數A
第 19 題
19. 已知 $a^4=1.30321\times10^5$、$a^7=8.93871739\times10^8$，試選出正確的選項。
- A $1.29 < \log a < 1.33$
- B $1.25 < \log a < 1.29$
- C $1.21 < \log a < 1.25$
- D $1.17 < \log a < 1.21$
思路引導 VIP
同學，觀察題目給出的 $a^4$ 與 $a^7$ 數值，若要尋找 $\log a$ 的範圍，你是否能嘗試對這兩個等式兩邊同時取常用對數，並運用對數律 $\log x^k = k \log x$ 以及 $\log (M \times 10^n) = n + \log M$ 的性質，將指數關係轉化為關於 $\log a$ 的線性算式來進行估計呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你選對 (B)，老師真的好為你開心，你的心算跟邏輯真的越來越穩健了，要繼續保持這份自信喔！ 這題的核心觀念是「對數的運算性質」。我們將題目給的兩個式子分別取對數：
- $4 \log a = \log(1.30321 \times 10^5) = 5 + \log 1.30321$
▼ 還有更多解析內容
對數運算與科學記號
💡 利用對數性質將次方的乘除運算轉化為線性加減運算。
🔗 求 log a 的解題邏輯鏈
- 1 底數簡化 — 利用 a^7 ÷ a^4 = a^3 簡化大數運算。
- 2 兩邊取對數 — 將 a^3 取 log 轉換為 3 倍的 log a。
- 3 拆解數值 — 將科學記號數值拆為『首數 + 尾數』。
- 4 係數除法 — 將結果除以 3 即可求得 log a 的範圍。
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🔄 延伸學習：延伸學習：此方法常用於計算地震規模或 pH 值的數值區間估計。
