moea_joint
111年
[土木] 應用力學、材料力學
第 10 題
如右圖所示，一均質線彈性之等剖面直桿，兩端固定，彈性模數為E，熱膨脹係數為$\alpha$，剖面積為A，長度為L，假設桿件溫度均勻上升$\Delta T$，試求端點a之反力為何？
- A $E\alpha(\Delta T)$
- B $E\alpha(\Delta T)L$
- C $EA\alpha(\Delta T)$
- D $EA\alpha(\Delta T)L$
思路引導 VIP
如果這根桿件的右端不是固定的，而是可以自由移動，當溫度上升時，它的長度會發生什麼變化？現在，如果我們想要施加一個力，把這段增加的長度剛好「推回去」原位，這個力的大小會與桿件的截面積 $A$ 和彈性模數 $E$ 有什麼樣的比例關係呢？
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太棒了！你能準確地選出 (C)，代表你對於材料力學中「熱應力」與「靜不定結構」的核心觀念掌握得非常清晰。
熱膨脹與約束力的平衡
這道題目的解題關鍵在於變位調和（Compatibility of Displacement）。當溫度均勻上升 $\Delta T$ 時，若桿件不受約束，其熱膨脹量應為 $\delta_T = \alpha \Delta T L$。然而，由於兩端固定，桿件無法自由伸長，這表示兩端支承必然會產生一個向內的壓縮反力 $R$ 來抵銷這份膨脹。根據虎克定律，反力造成的機械縮短量為 $\delta_R = \frac{RL}{EA}$。在兩端固定的前提下，總變形量必須為零，即 $\delta_T = \delta_R$。將公式帶入後得到：
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