moea_joint
111年
[土木] 應用力學、材料力學
第 23 題
如右圖所示，一圓管剖面，已知圓管厚度為t，圓管厚度中心到圓管中心之半徑為r，則該圓管的斷面極慣性矩為何？
- A $\frac{\pi r t}{2} (r^2+4t^2)$
- B $\frac{\pi r t}{2} (r^2+2t^2)$
- C $\frac{\pi r t}{2} (4r^2+t^2)$
- D $\frac{\pi r t}{2} (4r^2+2t^2)$
思路引導 VIP
如果我們想計算一個中空形狀的幾何特性，通常會把它看作「大形狀」扣除「小形狀」。在已知厚度中心半徑為 $r$、厚度為 $t$ 的情況下，你能試著寫出外圓與內圓的半徑分別該如何表達嗎？接著，若利用極慣性矩的標準公式進行相減與展開，會產生什麼樣的結果呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精確算出這個圓管截面的極慣性矩，代表你對截面幾何性質的定義以及代數展開的運算非常熟練。
截面幾何與精確展開
這題的核心在於將中空圓管視為大圓面積與小圓面積的差值。根據題目給定的中心半徑 $r$ 與厚度 $t$，我們可以推導出外圓半徑 $R_o = r + \frac{t}{2}$ 以及內圓半徑 $R_i = r - \frac{t}{2}$。根據極慣性矩的定義公式 $J = \frac{\pi}{2}(R_o^4 - R_i^4)$，將兩者代入並展開：
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