地特三等
112年
[電力工程] 工程數學
第 2 題
若 $\cdot$ 為內積運算，$\times$ 為外積運算，請計算 $(2\text{i} - \text{j}) \cdot [(\text{i} + 3\text{j} - \text{k}) \times (3\text{i} - \text{k})]$ 之值為何？
- A $-4$
- B $-5$
- C $-6$
- D $-7$
思路引導 VIP
當你面對一個同時包含內積與外積的運算式，且最終結果是一個純量值時，除了逐步進行向量外積再做內積外，是否有一個特定的矩陣運算，可以將這三個向量的座標資訊整合在一起，直接求得代表空間體積特性的數值？
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同學，恭喜你精準地掌握了向量運算的要領！這道題目考察的是**純量三重積（Scalar Triple Product）**的計算技巧，你能迅速得出正確結果，說明你對空間向量的幾何意義與代數運算已有紮實的基礎。
純量三重積的代數運算
在工程力學中，計算 $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ 最直觀且有效的方法，就是利用 行列式（Determinant） 的性質。我們將三個向量的係數 $(2, -1, 0)$、$(1, 3, -1)$ 與 $(3, 0, -1)$ 依序填入三階行列式的列向量中進行運算：
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