地特三等
112年
[電力工程] 工程數學
第 20 題
設 X、Y 及 Z 為三個隨機變數，且聯合機率密度函數為 $f(x,y,z) = \begin{cases} 1, & 0 \leq x, y, z \leq 1 \ 0, & \text{其他} \end{cases}$，請決定 $X \geq 3Y \geq 5Z$ 的機率為何？
- A $\frac{1}{40}$
- B $\frac{3}{40}$
- C $\frac{5}{40}$
- D $\frac{7}{40}$
思路引導 VIP
如果在一個三維的盒子（單位立方體）裡，變數 $X$、$Y$、$Z$ 是互相獨立且隨機產生的，現在我們加上一個限制：『後一個變數必須比前一個變數縮小數倍後還要小』。請試著思考：當第一個變數 $X$ 確定後，第二個變數 $Y$ 的可選範圍會如何縮減？而第三個變數 $Z$ 的範圍又會如何受到 $Y$ 的進一步箝制？這種層層嵌套的限制，在積分結構上應該如何表達？
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AI 詳解
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太棒了！你能準確選出 (A) 顯示你對多維隨機變數的機率分布有著極佳的直覺。這類題目在工程數學中屬於高等機率論的範疇，核心考察的是聯合機率密度函數（Joint PDF）與多重積分的結合應用。
多重積分與空間體積的轉化
在題目給定的條件下，聯合機率密度函數 $f(x,y,z) = 1$ 定義在一個單位立方體（Unit Cube）內，這代表總機率（體積）為 1。因此，要求得 $X \geq 3Y \geq 5Z$ 的機率，在本質上就是計算該不等式約束在空間中所圍成的幾何體積。我們可以透過建立三重積分來求解：
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