地特三等
112年
[電力工程] 工程數學
第 6 題
假設矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \ 0 & -2 & 1 \ 0 & 3 & -3 \end{bmatrix}$，計算行列式值 $\det(3A^T) + \det(A^{-1}) = \frac{c}{3}$，$c = ?$
- A $18$
- B $28$
- C $244$
- D $234$
思路引導 VIP
若我們不直接展開繁瑣的矩陣運算，試著思考：當一個 $3 \times 3$ 的矩陣整體被放大 3 倍時，其內部的體積（即行列式值的物理意義）會如何隨著維度變化？此外，轉置運算與取逆矩陣運算，分別會對矩陣的「縮放比例」產生什麼樣的數學影響呢？
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行列式的基礎運算與性質應用
首先，我們觀察矩陣 $A$ 的第一行，利用降階擴展法（Laplace expansion）可以發現 $\det(A) = 1 \cdot [(-2)(-3) - (1)(3)] = 3$。接著是本題的核心：應用行列式的運算性質。對於 $3 \times 3$ 矩陣而言，純量乘積的性質為 $\det(kA) = k^n \det(A)$，因此 $\det(3A^T) = 3^3 \cdot \det(A) = 27 \cdot 3 = 81$。同時，逆矩陣（Inverse matrix）的行列式值等於原值的倒數，即 $\det(A^{-1}) = 1/3$。將兩者相加得到 $81 + 1/3 = 244/3$，對應公式 $\frac{c}{3}$，顯然 $c = 244$。
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