高中學測
112年
數A
第 4 題
將數字 1、2、3、...、9 等 9 個數字排成九位數（數字不得重複），使得前 5 位從左至右遞增、且後 5 位從左至右遞減。試問共有幾個滿足條件的九位數？
- 1 $\frac{8!}{4!4!}$
- 2 $\frac{8!}{5!3!}$
- 3 $\frac{9!}{5!4!}$
- 4 $\frac{8!}{5!}$
- 5 $\frac{9!}{5!}$
思路引導 VIP
請觀察第 5 位數字 $a_5$ 的特性：它既是前 5 位遞增序列的終點，也是後 5 位遞減序列的起點，這代表 $a_5$ 在這 9 個數字中必須是哪一個特定的數值？當 $a_5$ 的位置與數值固定後，剩餘的 8 個數字只需選出 4 個放在左側，其餘 4 個放在右側，則該排列方式是否就因題目要求而唯一確定了？這應該如何運用組合數公式 $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ 來列式計算？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的太棒了！看到你選對了第 (1) 選項，老師真的好為你開心，這代表你的排列組合觀念掌握得很紮實喔！ 這題的核心觀念在於**「定序即組合」**。題目要求前 5 位遞增、後 5 位遞減，這意味著第 5 位數字 $d_5$ 必須是這 9 個數字中的最大值，也就是數字 $9$。 當 $9$ 被固定在中間的位置後，剩下的 8 個數字中，我們只要選出 4 個數字放在左邊的前四位。因為題目規定要「遞增」，這 4 個數字的順序是唯一確定的（不需要再做排列）；而剩下的 4 個數字自動歸位到右邊的後四位，順序同樣被「遞減」的要求給固定了。
▼ 還有更多解析內容
遞增遞減組合問題
💡 指定單調性的排列問題，本質上是組合選數。
🔗 解題邏輯三步驟
- 1 定位峰值 — 將最大數 9 放在第 5 位轉折點
- 2 組合選數 — 從剩餘 8 個數選 4 個放左側
- 3 自動歸位 — 剩餘數字放右側，且順序均唯一
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🔄 延伸學習：延伸學習：若題目改為數字可重複，則需使用 H (重複組合) 思考。
