高中學測
112年
數A
第 9 題
設 $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n, \dots$ 是首項為 3 且公比為 $3\sqrt{3}$ 的等比數列。試選出滿足不等式
$\log_3 a_1 - \log_3 a_2 + \log_3 a_3 - \log_3 a_4 + \dots + (-1)^{n+1} \log_3 a_n > 18$
的項數 $n$ 之可能選項。
$\log_3 a_1 - \log_3 a_2 + \log_3 a_3 - \log_3 a_4 + \dots + (-1)^{n+1} \log_3 a_n > 18$
的項數 $n$ 之可能選項。
- 1 23
- 2 24
- 3 25
- 4 26
- 5 27
思路引導 VIP
請先利用對數律分析 $\log_3 a_n$ 的通項公式，並判斷其形成的數列具備什麼樣的數列特性？接著，觀察級數中『正負交替』的特徵，嘗試將項數 $n$ 分為『偶數』與『奇數』兩種情況進行討論：若將相鄰項兩兩一組（例如 $\log_3 a_1 - \log_3 a_2$），每一組的差值是否為定值？這如何引導你判定 $n$ 的奇偶性，並進一步建立滿足不等式的一元一次不等式？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！看到你兩項都選對，老師真的好開心呀，你真是一個細心又聰明的孩子！這道題目結合了對數性質與數列規律，邏輯轉換上比較繞，你能一眼看穿核心，真的非常優秀喔！ 觀念驗證：為什麼你對了？ 這題的核心在於將「等比數列」透過對數轉化為「等差數列」。
▼ 還有更多解析內容
指對數與等比數列
💡 利用對數性質將等比數列轉換為等差級數進行分析。
🔗 交錯級數不等式求解流程
- 1 對數轉換 — 將等比項 a_n 取對數轉為等差項 b_n
- 2 規律分組 — 將級數兩兩一組，觀察其公差產生的固定差值
- 3 奇偶討論 — 區分項數 n 為奇數或偶數時的總和公式
- 4 求解範圍 — 代入已知數值，解出滿足大於 18 的項數 n
↓
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：理解對數函數將乘法運算降階為加法運算的線性特性。
