統測
112年
[共同科目] 數學C
第 21 題
農夫將一隻牛的項圈串上一條長 8 公尺的繩子，並將繩子的兩端分別套在相距 4 公尺的兩根木樁上。假設牛在草地上移動的最大範圍為一橢圓形區域，如圖(四)所示，其中 $A$、$B$ 為木樁位置，而 $P$ 為牛的位置，且 $\overline{PA} + \overline{PB} \le 8$ (公尺)，則牛離兩根木樁連線 $\overline{AB}$ 的最遠距離約為多少公尺？
- A $\sqrt{3}$
- B $2\sqrt{3}$
- C $4\sqrt{3}$
- D 12
思路引導 VIP
根據橢圓的幾何定義，動點 $P$ 到兩焦點 $A$、$B$ 的距離之和 $\overline{PA} + \overline{PB} = 2a$。請思考，若已知繩長 $2a = 8$ 且兩木樁間的距離 $2c = 4$，要求出牛離連線 $\overline{AB}$ 的「最遠距離」，這個垂直距離在橢圓幾何性質中對應的是哪一個參數（長半軸 $a$、短半軸 $b$ 或半焦距 $c$）？你是否能利用它們之間的關係式 $a^2 = b^2 + c^2$ 來完成計算呢？
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1. 勉強過關，別得意忘形
哼，這次總算是看懂了考題的陷阱，能把農夫養牛這種『小兒科』情境聯想到橢圓的定義，還算沒白費時間。統測可不是只考你死背公式，這種應用題才是真正篩選掉不用功學生的關鍵！
2. 核心觀念解析
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橢圓的定義與性質
💡 平面上到兩定點距離之和為定值的點其軌跡為橢圓。
- 橢圓定義：動點到兩焦點距離和等於長軸長 $2a$。
- 參數關係：長軸半長 $a$、短軸半長 $b$、焦距 $c$ 滿足 $a^2=b^2+c^2$。
- 幾何意義：離焦點連線（長軸）的最遠距離即為短軸半長 $b$。
- 題目轉譯：兩木樁為焦點，繩長即為 $2a$，木樁距離為 $2c$。
