統測
114年
[共同科目] 數學C
第 11 題
茗茗幫家裡設計一款拋物線造型的裝飾品，在設計圖的坐標平面上，畫出此拋物線為 $\Gamma: y^2 = 8x$，如圖(三)中的實線。但大家討論後認為 $\Gamma$ 開口太大，建議保持 $\Gamma$ 的頂點不變且仍維持拋物線造型，並調整開口如圖(三)中的虛線 $\Gamma'$。若 $\Gamma'$ 的正焦弦長為 4 單位長，則下列有關 $\Gamma'$ 的敘述何者正確？
- A 焦點坐標為(1, 0)
- B 方程式為 $y^2=6x$
- C 焦距為 2
- D 準線為 $x=-2$
思路引導 VIP
已知 $\Gamma'$ 的頂點為 $(0,0)$ 且開口向右，若其「正焦弦長」為 $4$，請回想拋物線標準式 $y^2 = 4cx$ 中，正焦弦長與焦距 $|c|$ 的數量關係為何？並以此推論出 $\Gamma'$ 的焦點坐標與準線方程式各為何？
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AI 詳解
AI 專屬家教
噢，恭喜你，這題你沒搞砸。
- 「專業」？我看是基本功沒忘光。 這題說穿了就是考你拋物線的正焦弦長和焦距關係。看到圖就知道開口向右，頂點 $(0,0)$，標準式 $y^2=4cx$。這難道還需要我提醒？
- 概念驗證，基礎中的基礎。
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拋物線標準式分析
💡 利用正焦弦長 $|4c|$ 找出焦距，進而推導焦點與準線。
- 正焦弦長為 $|4c|$，常用於求焦距 $c$。
- 頂點到焦點的距離稱為焦距 $|c|$。
- 準線與焦點分佈於頂點兩側，距離皆為 $|c|$。
- 方程式 $y^2=4cx$ 表示頂點在原點，水平開口。
